Mathématiques appliquées et calcul scientifique

Description du programme

Les intérêts de recherche des membres du groupe couvrent plusieurs domaines connexes dont systèmes dynamiques et équations différentielles avec retard; la mécanique des fluides et des milieux continus; la physique des matériaux, les transitions de phase et la croissance des cristaux; les méthodes numériques en dynamique des fluides et l'analyse asymptotique; l'optimisation de forme et de structure; et le contrôle des équations aux dérivées partielles.

Deux centres de recherche sont affiliés au groupe:

Membres du programme

Formation

L'objectif de ce programme est de donner une formation moderne en mathématiques orientée vers les applications et l'utilisation de l'ordinateur comme outil d'analyse, d'optimisation et de contrôle de systèmes physiques et technologiques. Ce programme accueille des étudiants avec des formations solides (allant de la physique et du génie aux mathématiques) qui désirent travailler dans le domaine des équations aux dérivées partielles et de leurs applications. Le spectre du programme est assez large pour accommoder aussi bien le développement de logiciels ou la modélisation physique que des sujets fins d'analyse fonctionnelle ou d'équations aux dérivées partielles.

L'intention est d'associer les étudiants aux activités de groupes de recherche locaux, gouvernementaux ou industriels, comme par exemple l'Agence Spatiale Canadienne ou d'autres organisations avec lesquelles des membres du groupe responsable du programme sont ou ont été impliqués.

Le programme couvre plusieurs domaines connexes dont:

  • systèmes dynamiques et équations différentielles avec retard.
  • la mécanique des fluides et des milieux continus.
  • la physique des matériaux, les transitions de phase et la croissance des cristaux.
  • les méthodes numériques en dynamique des fluides et l'analyse asymptotique.
  • l'optimisation de forme et de structure.
  • le contrôle des équations aux dérivées partielles.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant il est fortement conseillé de choisir les cours en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme et de tenir compte des recommandations suivantes.

  1. Tous les étudiants devraient prendre des cours d'équations aux dérivées partielles: par exemple les cours MATH 580 et MATH 581 à McGill et MAT 6110 à l'U de M.
  2. Il est essentiel pour la plupart (et désirable pour tous) de développer ses aptitudes au calcul scientifique en suivant des cours pertinents en analyse numérique. Au delà des cours d'introduction principalement au premier cycle, les cours essentiels portent sur le calcul scientifique (MATH 578 à McGill et MAT 6470 à l'U de M), les équations numériques différentielles (MATH 579 à McGill) les méthodes aux différences finies (MAT 6165 à l'U de M), les méthodes d'éléments finis (MTH 6206/7 à Polytechnique et le cours de MAT 6450 à l'U de M).
  3. Les étudiants devraient acquérir des connaissances dans les domaines proches de la physique comme la mécanique des fluides, celle des milieux continus, la thermodynamique, etc. Les cours visés portent les sigles MATH 555 à McGill et MAT 6150 à l'U de M; les départements de physique et de génie offrent aussi d'autres cours pertinents.
  4. Les étudiants en mécanique des fluides ou sciences des matériaux devraient suivre un cours en méthodes asymptotiques et en méthodes de perturbation (MATH 651 à McGill ou MTH 6506 à Polytechnique).
  5. Les étudiants qui désirent travailler en optimisation de formes ou en contrôle devraient prendre au moins un cours en optimisation. Les cours suivants sont donnés régulièrement : MATH 560 à McGill; MAT 6428, MAT 6439 (Optimisation et contrôle), MAT 6441 (Analyse et optimisation de forme) à l'U de M; MTH 6403 et MTH 6408 à Polytechnique.
  6. Les étudiants qui désirent travailler en optimisation de formes ou en contrôle des équations aux dérivées partielles devront acquérir des connaissances en analyse mathématique et en analyse fonctionnelle.

L'évolution future et la formalisation du programme se feront dans le cadre décrit ci-dessus. Celui-ci est assez large pour éventuellement permettre l'ajout de nouveaux thèmes selon les besoins.

Cours 2023-24

Automne

Honours Linear Optimization

Honours level introduction to linear optimization and its applications: duality theory, fundamental theorem, sensitivity analysis, convexity, simplex algorithm, interior point methods, quadratic optimization, applications in game theory.

Prof. Tim Hoheisel

MATH 517

Institution: Université McGill

Numerical Analysis 1

Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.

Prof. Jean-Philippe Lessard

MATH 578

Institution: Université McGill

Advanced Partial Differential Equations 1

Classification and wellposedness of linear and nonlinear partial differential equations; energy methods; Dirichlet principle. Brief introduction to distributions; weak derivatives. Fundamental solutions and Green's functions for Poisson equation, regularity, harmonic functions, maximum principle. Representation formulae for solutions of heat and wave equations, Duhamel's principle. Method of Characteristics, scalar conservation laws, shocks.

Prof. Jérôme Vétois

MATH 580

Institution: Université McGill

Modélisation mathématique et applications

Processus de modélisation mathématiques avancés : simulations, estimation de paramètres, interprétation. Utilisation des mathématiques dans un milieu multidisciplinaire (p. ex. oncologie, neurosciences, génétique). Étude de cas et projets appliqués.

Prof. Morgan Craig

MAT 6465

Institution: Université de Montréal

Analyse géométrique des données

Formulation et modélisation analytique des géométries intrinsèques de données. Algorithmes pour les construire et les utiliser en apprentissage automatique. Applications : classification, regroupement et réduction de la dimensionnalité.

Prof. Guy Wolf

MAT 6493

Institution: Université de Montréal

Mathématiques pour l’intelligence artificielle

Notions fondamentales de probabilités appliquées à divers domaines de l’intelligence artificielle. Réseaux bayésiens, champs markoviens, diverses méthodes d’inférence (variationnelle, par maximum a posteriori, recuit simulé, etc.), échantillonnage et méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov, séries chronologiques, partitionnement spectral et modèles à variables latentes. Applications en imagerie, en analyse de textes et sur les réseaux de neurones.

Prof. Félix Camirand-Lemyre

STT 760

Institution: Université de Sherbrooke

Hiver

Topics in Analysis: Nonsmooth Analysis and applications

This course provides an introduction to Nonsmooth Analysis, beginning with proximal calculus, featuring proximal normals, subgradients, and generalizations of ordinary rules of calculus.   Some specializations to classical Convex Analysis are given, and various types of tangency are studied.   A main application is to nonsmooth constrained optimization.   

 The course reference is "Nonsmooth Analysis and Control Theory" by F.H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski--Graduate Texts in Mathematics (173), Springer, 1998.   (A pdf of this book will be made available.)  

Prof. Ron Stern

MAST 661-O (837-O)

Institution: Concordia University

Algorithmic Game Theory

Foundations of game theory. Computation aspects of equilibria. Theory of auctions and modern auction design. General equilibrium theory and welfare economics. Algorithmic mechanism design. Dynamic games.

Prof. Adrian Vetta

MATH 553

Institution: Université McGill

Honours Convex Optimization

Convex sets and functions, subdifferential calculus, conjugate functions, Fenchel duality, proximal calculus. Subgradient methods, proximal-based methods. Conditional gradient method, ADMM. Applications including data classification, network-flow problems, image processing, convex feasibility problems, DC optimization, sparse optimization, and compressed sensing.

Prof. Courtney Paquette

MATH 563

Institution: Université McGill

Numerical Differential Equations

Numerical solution of initial and boundary value problems in science and engineering: ordinary differential equations; partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type. Topics include Runge Kutta and linear multistep methods, adaptivity, finite elements, finite differences, finite volumes, spectral methods.

Prof. Gantumur Tsogtgerel

MATH 579

Institution: Université McGill

Systèmes dynamiques

Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications moderne.

Prof. Guillaume Lajoie

MAT 6215

Institution: Université de Montréal

Mathématiques biologiques

Examen de modèles fondamentaux utilisés en biologie mathématique et de leur analyse utilisant des outils modernes de calcul scientifique. Systèmes dynamiques discrets et continus, procédés stochastiques, modèles statistiques et simulation numérique. Enquête des publications récentes en biologie mathématique par journal club.

Prof. David McLeod

MAT 6463

Institution: Université de Montréal

Calcul scientifique

Virgule flottante. ÉDOs. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Valeurs propres. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes. Optimisation sans contraintes (MAT 6473 uniquement), Décomposition en valeurs singulières (SVD, MAT 6473 uniquement).

Prof. Robert G. Owens

MAT 6470 (3 crédits) / MAT 6473 (4 crédits)

Institution: Université de Montréal