Algèbre et théorie des nombres

Description du programme

L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.

Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.

Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.

Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.

Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.

Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.

Cours 2024-25

Automne

Topics on Elliptic Curves

The course will focus on the study of elliptic curves over the complex and p-adic numbers. It will cover topics such as: complex uniformisation, Weistrass P-functions, the periods of an elliptic curve, the formal group of an elliptic curve, ordinary and supersingular elliptic curves, integral model of elliptic curves, the local Galois representation.

Prof. Chantal David

MAST 699 (MAST 833)

Institution: Concordia University

Algebraic Geometry

The main objective of the course is to study geometrically algebraic objects, for example commutative rings with identity. To such a ring we will attach a topological space and a sheaf of rings on it, making it into a geometric object called "affine scheme". We will see that affine schemes can be glued together to give other (non-affine) schemes.

Prof.

MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Algèbre commutative et théorie de Galois

Corps (extensions, théorie de Galois, corps finis), Anneaux (noethériens et artiniens, radicaux, idéaux premiers et maximaux, localisation, théorème de Wedderburn, Nullstellensatz), Modules (lemme de Schur, modules projectifs et injectifs, suites exactes, produit tensoriel, catégories).

Prof. Michael Lau

MAT 7205

Institution: Université Laval

Algèbre (thèmes choisis) : Introduction à la géométrie algébrique

Ce cours se veut une introduction à la géométrie algébrique et sera divisé en deux parties. Dans la première partie on étudiera les courbes algébriques sur les complexes avec une emphase sur les courbes projectives et lisses (i.e. les surfaces de Riemann compactes). La théorie sera développée en faisant appel simultanément à des notions d'algèbre, d'analyse complexe et de topologie. Voici les thèmes qui seront traités dans cette première partie: courbes affines, courbes projectives, applications holomorphes et méromorphes, fonctions thêtas, courbes hyperelliptiques, revêtements et formule d'Hurwitz, théorème de Riemann-Roch, singularités (noeud, cusp). Dans la deuxième partie du cours nous aborderons la théorie générale des variétés algébriques sur un corps quelconque avec une emphase sur celles qui sont définies sur le corps des complexes. Voici les thèmes qui seront couverts dans cette deuxième partie: anneaux noethériens et ensembles algébriques affines, variétés affines et théorème du Nullstellensaz de Hilbert, variétés projectives, anneaux des coordonnées affines et homogènes, morphismes et applications birationnelles, topologie de Zariski et équivalence de catégorie pour le cas affine.

Prof. Hugo Chapdelaine

MAT-7730

Institution: Université Laval

Higher Algebra 1

• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits. 
• Affine schemes. Integral extensions. 
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space. 
• Representations of finite groups.

Prof. Daniel Wise

MATH 570

Institution: Université McGill

Théorie algébrique des nombres

Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.

Prof. Matilde Lalin

MAT 6650

Institution: Université de Montréal

Algèbre

Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17<+>e<+> problème de Hilbert.

Prof. Alejandro Morales

MAT 7600

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Topics in Algebra: Diophantine Geometry

Prof.

MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Groups and Rings

Introduction to Ring Theory: definitions and examples, ideals, quotients and isomorphisms. Euclidean domains, principal ideal domains and unique factorization domains. Polynomial rings and introduction to modules.

Prof.

MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Higher Algebra 2

• Representations of finite groups.
• Semi-simple rings.
• Central simple algebras and the Brauer group.
• Projective, injective and flat modules.
• Homological algebra.

Prof. Eyal Goren

MATH 571

Institution: Université McGill

Advanced Topics in Number Theory

Prof. Eyal Goren

MATH 726

Institution: Université McGill

Théorie de la représentation des groupes (cours enseigné en anglais)

Représentations des groupes, algèbre d’un groupe fini, table de caractères, représentations des groupes symétriques, groupes de Lie, algèbre de Lie, représentations des groupes classiques.

Prof. Leonid Rybnikov

MAT 6621

Institution: Université de Montréal

Distribution des nombres premiers

Distribution des nombres premiers. Fonction zêta de Riemann et fonctions-L de Dirichlet. Le théorème des nombres premiers, et de Bombieri-Vinogradov. La répartition des nombres premiers consécutifs.

Prof. Andrew Granville

MAT6652

Institution: Université de Montréal

Thèmes choisis en algèbre : théorie des représentations et des carquois

Représentations de carquois, représentations projectives et injectives, algèbres et modules, algèbres de carquois liés, théorie d'Auslander-Reiten.

Prof. Véronique Bazier-Matte

Laval-7395

Institution: Université Laval

Représentation des groupes

La théorie de la représentation des groupes et une théorie algébrique dont les ramifications s’étendent à de très nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’à la Physique te à la Chimie. L’apprentissage de cette théorie permettra entre autre à l’étudiant d’appréhender d’autres théories algébriques de la représentation.

Descripteur : Représentations linéraires des groupes finis. Sous-représentations, théorème de Mashke; représentations irréductibles. Théorie des caractères. Décomposition en composantes isotypiques. Produits tensoriels; représentation induites. Représentations linéaires des groupes compacts. Exemples: groupes cycliques, diédraux, symétriques: tores, groupes de rotations.

Prof. François Bergeron

MAT 7400

Institution: Université du Québec à Montréal