Algèbre et théorie des nombres

Description du programme

L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.

Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.

Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.

Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.

Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.

Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.

Cours 2023-24

Automne

Algebraic Geometry: Schemes

The course will follow chapter II of Hartshorne's book Algebraic Geometry, as follows: we will study sheaves of rings on topological spaces, affine schemes, projective schemes, coherent and quasi-coherent OX-modules on a scheme X, differentials.

Prof. Adrian Iovita

699/ MAST 833

Institution: Concordia University

Modular Forms

This course will be an introduction to the theory of modular forms over the complex number. We shall cover the following topics: the modular group and the upper half-plane, Eisenstein series, Hecke operators, L-functions, modular curves, geometric interpretation of modular forms. If time allows it, further topics (Galois representations or Eichler--Shimura relations) will be considered. Knowledge of complex analysis, Riemann surfaces, and sheaves is useful but not necessary.

Prof. Giovanni Rosso

MAST 699C/ MAST 833C

Institution: Concordia University

Topics in Algebra: Diophantine Analysis

This course centers around the proofs of central finiteness results in arithmetic. We will start from scratch from the basic notion of heights on varieties and basic properties thereof. Among other topics, we will go through the proof of the finiteness of the number of solutions to integral and rational points on higher genus curves (Faltings' theorem): in the latter case we will present the proof of Vojta in the version given by Bombieri. One of the main references will be the book of Bombieri—Gubler "Heights in Diophantine Geometry". A more detailed outline with a webpage for the course will follow shortly. 

The final exam will consist of presentations of selected topics, which we will agree on towards the end of the course.

Time/Location: Tuesday, 17:45-20:15, Concordia Library Building 9th floor, CICMA room.

Prof. Carlo Pagano

Concordia MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Algèbre commutative et théorie de Galois

Corps (extensions, théorie de Galois, corps finis), Anneaux (noethériens et artiniens, radicaux, idéaux premiers et maximaux, localisation, théorème de Wedderburn, Nullstellensatz), Modules (lemme de Schur, modules projectifs et injectifs, suites exactes, produit tensoriel, catégories).

Prof. Michael Lau

MAT 7205

Institution: Université Laval

Higher Algebra 1

• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits. 
• Affine schemes. Integral extensions. 
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space. 
• Representations of finite groups.

Prof. Eyal Goren

MATH 570

Institution: Université McGill

Topics in Algebra and Number Theory: Algebraic Number Theory

Dedekind domains and unique factorization of prime ideals. Finiteness of the class group and Dirichlet’s Unit Theorem. Local fields. Selected other topics as time allows.

Prof. Patrick Allen

MATH 596

Institution: Université McGill

Distribution des nombres premiers

Distribution des nombres premiers. Fonction zêta de Riemann et fonctions-L de Dirichlet. Le théorème des nombres premiers, et de Bombieri-Vinogradov. La répartition des nombres premiers consécutifs.

Prof. Dimitris Koukoulopoulos

MAT6652

Institution: Université de Montréal

Hiver

Groups and Rings

Introduction to Ring Theory: definitions and examples, ideals, quotients and isomorphisms. Euclidean domains, principal ideal domains and unique factorization domains. Polynomial rings and introduction to modules.

Prof.

MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Galois Cohomology / Class Field

Prof. Carlo Pagano

MAST 699 / 833

Institution: Concordia University

Higher Algebra 2

• Representations of finite groups.
• Semi-simple rings.
• Central simple algebras and the Brauer group.
• Projective, injective and flat modules.
• Homological algebra.

Prof. Eyal Goren

MATH 571

Institution: Université McGill

Algèbre commutative

Anneaux commutatifs, idéaux premiers, rudiments de géométrie algébrique, Nullstellensatz de Hilbert, localisation, complétion, théorie de la dimension.

Prof. Jake Levinson

MAT 6620

Institution: Université de Montréal

Courbes elliptiques et formes modulaires

Groupe des points d’une courbe elliptique. Théorème de Mordell-Weil. Groupes de Selmer et de Tate-Shafarevich. Les expansions de Fourier des formes modulaires et l’idée de modularité. Applications aux équations diophantiennes.

Prof. Matilde Lalin

MAT 6654

Institution: Université de Montréal

Algèbre commutative et géométrie algébrique

Anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d'un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière: clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications.

Prof. Emily Cliff

MAT 729

Institution: Université de Sherbrooke